投资组合理论

Markowitz模型

马科维茨模型的假设条件

  1. 投资者在考虑每一次投资选择时,其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。
  2. 投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。
  3. 投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。
  4. 在一定的风险水平上,投资者期望收益最大;相对应的是在一定的收益水平上,投资者希望风险最小。

根据以上假设,马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论,建立了资产优化配置的均值-方差模型:
目标函数:min σ2(rp)=xixjCov(ri,rj)min \ \sigma^2(r_p)=\sum \sum x_ix_jCov(r_i,r_j)

其中:rp=xirir_p=∑x_ir_i

限制条件(允许卖空):(xi)=1\sum(x_i)=1

限制条件(不允许卖空):(xi)=1,xi0\sum(x_i)=1,x_i\geq0

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.linalg as linalg
import ffn

class MeanVariance:
def __init__(self,returns):
'''输入收益率'''
self.returns=returns

def min_var(self,goalRet):
'''最小化方差函数'''
covs=np.array(self.returns.cov())
means=np.array(self.returns.mean())
L1=np.append(np.append(covs.swapaxes(0,1),[means],0),[np.ones(len(means))],0).swapaxes(0,1)
L2=list(np.ones(len(means)))
L2.extend([0,0])
L3=list(means)
L3.extend([0,0])
L4=np.array([L2,L3])
L=np.append(L1,L4,0)
results=linalg.solve(L,np.append(np.zeros(len(means)),[1,goalRet],0))
return (np.array([list(self.returns.columns),results[:-2]]))

def cal_var(self,fracs):
'''给定个资产比例,计算方差'''
return (np.dot(np.dot(fracs,self.returns.cov()),fracs))

def cal_mean(self,fracs):
mean_risky=ffn.to_returns(self.returns).mean()
assert len(fracs)==len(mean_risky)
return (np.sum(np.multiply(mean_risky,np.array(fracs))))

def frontier_curve(self):
'''最小方差前沿线绘制'''
goals=[x/500000 for x in range(-100,4000)]
variances=list(map(lambda x: self.cal_var(self.min_var(x)[1,:].astype(np.float)),goals))
plt.plot(variances,goals)

Black-Litterman模型

主要参数:

P、Q:投资人经验判断

e.g. A的收益率为15%;B比D收益率高5%;B和C比A收益率低6%

P=[10000010101121200]P=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & \frac12 & \frac12 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\\

q=[15%,5%,6%]Tq=[15\%,5\%,6\%]^T

主观判断相对于先验信息所占比重τ\tau

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import numpy as np
import pandas as pd
from numpy import linalg
class BlackLitterman:
def __init__(self,returns,tau,P,Q):
mu = returns.mean()
sigma = returns.cov()
pi1 = mu
ts = tau * sigma
Omega = np.dot(np.dot(P,ts), P.T)* np.eye(Q.shape[0])
middle = linalg.inv(np.dot(np.dot(P,ts),P.T)+Omega)
er=np.expand_dims(pi1,axis=0).T + np.dot(np.dot(np.dot(ts, P.T), middle),(Q-np.expand_dims(np.dot(P,pi1.T),axis=1)))
posterirorSigma = sigma+ts-np.dot(ts.dot(P.T).dot(middle).dot(P),ts)
self.er=er
self.posterirorSigma=posterirorSigma

def blmin_var(self,goalRet):
means=np.array(self.er)
covs=np.array(self.posterirorSigma)
L1=np.append(np.append((covs.swapaxes(0,1)),[means.flatten()],0),[np.ones(len(means))],0).swapaxes(0,1)
L2=list(np.ones(len(means)))
L2.extend([0,0])
L3=list(means)
L3.extend([0,0])
L4=np.array([L2,L3])
L=np.append(L1,L4,0)
results=linalg.solve(L,np.append(np.zeros(len(means)),[1,goalRet],0))
return pd.DataFrame(results[:-2],
index=self.posterirorSigma.columns,columns=['p_weight'])

资本资产定价模型(CAPM)

RitRft=αi+βi(RmtRft)+ϵitR_{it}-R_{ft}=\alpha_i+\beta_i(R_{mt}-R_{ft})+\epsilon_{it}

根据数据用statsmodel.api.OLS拟合即可

Fama-French三因子模型

市场风险溢酬因子,市值因子,账面市值比因子。

理论模型:

E(Rit)Rft=αi+bi(E(Rmt)Rft)+siE(SMBt)+hiE(HMLt)\mathbb{E}(R_{it})-R_{ft}=\alpha_i+b_i(\mathbb{E}(R_{mt})-R_{ft})+s_i\mathbb{E}(SMB_t)+h_i\mathbb{E}(HML_t)

实证检验:

RitRft=αi+bi(RmtRft)+siSMBt+hiHMLt+ϵiR_{it}-R_{ft}=\alpha_i+b_i(R_{mt}-R_{ft})+s_iSMB_t+h_iHML_t+\epsilon_i

SMBt:SMB_t: 做空市值小的公司,做多市值大的公司的投资组合的收益率。

市值(MEkt)=股票价格(Pkt)在外流通股数(Qkt)市值(ME_{kt})=股票价格(P_{kt}) * 在外流通股数(Q_{kt})取中位数定义高低市值公司。

HMLt:HML_t: 做多高B/M的公司,做空低B/M的公司的投资组合的收益率。

B/M ratiokt=账面价值BEkt市值MEktB/M \ ratio_{kt}=\frac{账面价值BE_{kt}}{市值ME_{kt}}

账面价值可从财务报表数据库获取用

最后根据数据用statsmodel.api.OLS拟合即可