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解答

题目1

分成两种情况:

  • n为偶:nn=(n(n/2))2n^n=(n^{(n/2)})^2,n/2为整数,成立。[100:400]的任意偶数成立,一共有$(400-100)/2+1=151个。
  • n为奇:此时nnn^n为完全平方的条件是n为完全平方,因为nn=(x2)n=(xn)2n^n = (x^2)^n = (x^n)^2(设n=x2n=x^2)。所以100<n<400100<n<400 —> 102<x2<20210^2<x^2<20^2 —> 10<x<2010<x<20 ,满足的奇数有11、13、15、17、19。

所以一共有151+5=156个。

题目2

最短的两条边合成一条边(3+2=5)与最长的边(12)组成矩形,最短路径就是矩形的对角线(52+122)\sqrt{(5^2+12^2})=13

题目3

将题目描述情况当作一个事件,此事件发生概率为0.5*0.5=0.25,因此预期次数为1/0.25=4

题目4

经典条件概率题目,两个小孩,一共4种可能,“男男”,“男女”,“女男”,“女女”,概率均为0.25。

  1. P(另一个是女孩|其中一个是女孩) = P(女女) / P(男女 or 女男 or 女女)=0.25/0.75=1/3

  2. P(另一个是女孩|先出生的一个是女孩) = P(女女) / P(女男 or 女女)=0.25/0.5=0.5

  3. P(另一个是女孩|有一个女儿叫维多利亚) = P(女女) / P(男女 or 女男 or 女女)=0.25/0.75=1/3

题目5

Brouwer fixed-point theorem(布劳威尔不动点定理)

设*f(x)*是定义在集合X⊂R^n上的实函数,且f(x)∈X,∀x∈X。

  1. 如果f(x)是连续的;
  2. 且X为一非空的有界凸闭集(非空紧凸集);
  3. 则至少存在一个x*∈X使f(x*)=x*。即f(x)至少存在一个不动点。

定义一个函数f(x),x为水分子在煮开前的某一刻的位置,*f(x)*为水分子在煮开后的某一刻的位置。

对于条件1,题目中已经给出水分子在煮沸过程中的位置改变是连续的,对应函数关系f(x)是连续的

对于条件2,题目已给出锅子是封闭的,满足非空紧凸集的拓扑定义:一定有完全边界且任何存在极限的X包含的元素序列的极限点属于X。

因此,符合不动点定理的结论,在一锅水分子X中,至少存在一个水分子x*∈X,使得f(x*)=x*。即至少有一个水分子自始至终都处在原位。

题目6

kNVkwFzRuwPA8GWbH4G_4Q

4AB_D4r2l2fhxlhuhObIMA

题目7

image-20230713172531102

设:

1x>1;  1y>2;2z>1;  2w>11--x->1; \ \ 1--y->2; \\ 2--z->1; \ \ 2--w->1 \\

可得最优化函数组:

min.4x+3y+3z+2ws.t.{  x+y=40         z+w=30         x+z=20         y+w=50       min. 4x+3y+3z+2w \\ s.t.\left\{ \begin{aligned} \ \ x+y=40 \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ z+w=30 \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ x+z=20 \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ y+w=50 \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{aligned} \right.

事实上我们发现,4x+3y+3z+2w=3(x+y)+(x+z)+2(z+w)=2004x+3y+3z+2w = 3(x+y)+(x+z)+2(z+w)=200

如果将工厂1运送至销售点1的价格提高至5,这个式子5x+3y+3z+2w就有了解:

min(5x+3y+3z+2w)=min(x+200)min(5x+3y+3z+2w) = min(x+200)

所以x=0;y=40;z=20;w=10

题目8

ZXEdyuH3QoUGikqaGXTlrQ

最后一问可以使用代码来解决:

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import random

import math

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def random_walk(n):
x, y = 0, 0
for _ in range(n):
direction = random.choice(["上", "下", "左", "右"])
if direction == "上":
y += 1
elif direction == "下":
y -= 1
elif direction == "左":
x -= 1
elif direction == "右":
x += 1
return x, y

def calculate_distance(n, num_simulations):
total_distance = 0
for _ in range(num_simulations):
x, y = random_walk(n)
distance = math.sqrt(x ** 2 + y ** 2)
total_distance += distance
return total_distance / num_simulations

num_simulations = 10000
step_range = range(1, 51) # 计算1到50步的平均距离
average_distances = [calculate_distance(n, num_simulations) for n in step_range]

plt.plot(step_range, average_distances, marker='o')
plt.xlabel("步数 (n)")
plt.ylabel("与原点的平均距离")
plt.title("醉汉游走:步数与平均距离的关系")
plt.grid(True)
plt.show()

题目9

用C_n^k代表组合数也就是\frac_{(n-k)!k!}^{n!},n!=123…*n

  1. Cnkpk(1p)(nk)C_n^k*p^k*(1-p)^{(n-k)}

  2. 1(1p)n1-(1-p)^n

  3. 掷硬币抛掷为独立事件,因此之前的抛掷情况不影响之后投掷结果的概率,因此答案是p。也可以用贝叶斯公式算一下。

题目10

算是最简单的动态规划问题了,甚至没有故事背景,直接解决:

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def min_path(n, grid):
dp = [[0]*n for _ in range(n)]
dp[0][0] = grid[0][0]
for i in range(1, n):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for j in range(1, n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
for i in range(1, n):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = grid[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
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最终dp:
dp = [
[1 , 4 , 5, 10],
[2 , 7 , 6, 10],
[6 , 8 , 7, 13],
[13, 11, 9, 16]
]

因此,结果为16